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映射

两个非空集合 A (定义域) 与 B (值域) 间 存在着对应关系 f，而且对于 A 中的每一个元素 a，B 中总有唯一的一个元素 b 与它对应，就这种对应为从 A 到 B 的映射。

• 朴素的映射：A 中任意一个元素，存在 B 中唯一的一个元素与之对应

  每个萝卜都有坑，但可以两个萝卜一个坑，坑也可以有多余的没萝卜

• 单射：(A 中任意一个元素，存在 B 中一个元素与之对应，并且) A 中不同元素在 B 中的对应元素也不同 (“原不同则像不同”)

  每个萝卜都有坑，而且必须一个萝卜一个坑，但坑可以有多余的

• 满射： 陪域 (值域) 任何元素都有至少有一个定义域中的变量与之对应

  每个萝卜都有坑，但可以两个萝卜一个坑；坑必须一个不落全种上萝卜

• 双射 (一一映射)：既单射又满射

  一个萝卜一个坑，一个坑一个萝卜，并且坑必须一个不落全种上萝卜

  (隐含“定义域和值域的势相等”这一点)

函数

函数也是一种映射，只不过是实数集到实数集的映射。

初等函数：经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所组成的可用一个式子表示的函数。

五个最基本初等函数：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数

幂指阶乘 指幂对、三角反三角

性质：有界，单调，奇偶，周期

特殊函数

• 黎曼函数：当 x 为有理数 (写作既约真分数 p/q 的形式) 时，f(x) 为 1/q，否则为 0。
  性质：无理点处连续，有理点处不连续；[0, 1] 内极限处处为 0；[0, 1] 上黎曼积分为 0

  ❓ 为什么黎曼函数和狄利克雷函数的定义类似，但黎曼函数就在无理点处连续呢？

  定性思考一下，越靠近无理数的有理数，其“约分的能力”就会越来越低，也就是：在无理点的微小邻域内的有理数 (表示为既约真分数 p/q) 的分子分母数值上将会变得很大。而对于 1/q，越靠近无理数，此值便越趋近于 0，到达无理数点时，由黎曼函数定义直接变为 0。因此黎曼函数的无理点处左、右皆连续。

• 狄利克雷函数：当 x 为有理数时，f(x) 为 1，否则为 0。
  性质：处处不连续、处处不可导、任何区间内 (黎曼) 不可积

• Weierstrass 函数：处处连续而处处不可导

极限

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 $a$，对于任意给定的正数 $\epsilon$，都存在 $\delta > 0$，使不等式 $|f(x) - a| < \epsilon$ 在 $x\in U(x_0, \delta)$ 时恒成立，那么常数 $a$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的极限，记作 $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = a$。

$\epsilon -\delta$ 定义的理解：

• 从“误差”的角度出发。

  当 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限是 $a$ 时，那么可以这么说：无论给我多小的误差 $\epsilon$，我都能找到 $x_0$ 的一个邻域 $[x_0 - \delta, x_0 + \delta]$，在这个邻域内 $f(x)$ 和 $a$ 的误差处处小于 $\epsilon$ ($|f(x) - a| < \epsilon$ 恒成立于 $x \in [x_0-\delta, x_0+\delta]$)。

  当 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限不是 $a$ 时，那么当误差足够小的时候 (也就是“存在一个小误差 $\epsilon_0$​”)，永远也找不到 $x_0$ 的一个邻域，使得在该邻域中 $f(x), a$ 的误差处处小于 $\epsilon$​​。

• 从二维函数图像的角度出发。

  绘制两条函数曲线：$y=f(x)$ 和 $y = a$。显然后者是一条平行于 x 轴的直线。

  再在 $y=a$ 的上下两侧分别绘制 $y = a + \epsilon$ 和 $y = a - \epsilon$​，这两条便代表上述“误差角度”的“误差范围”。称这两条直线为“误差直线”。

  当 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限是 $a$ 时，无论两条误差直线离 $y=a$ 有多近，二者至少其一都会与 $f(x)$​ 有一个跨过 $x_0$ 相交的区间 (该区间便是“误差角度”中的 $x_0$ 邻域)。

  当 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限不是 $a$ 时，当两条误差直线离 $y=a$ 近到一定程度后，不存在与 $f(x)$ 跨过 $x_0$ 的相交区间，也就不存在满足误差约束的 $x_0$​ 邻域。

连续

✔ 连续对离散

❌ 连续对间断

注：间断只是连续的微小细节

若函数 $f(x)$ 在 $U(x_0, \delta)$ 内有定义，且 $\lim_{x_0} f(x) = f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，$x_0$ 为 $f(x)$ 的一个连续点。

间断

($x_0$​​ 处函数不连续，则间断。)

TO BE CONTINUED…